中國古代五音十二律之頻率計算

        向來對樂理沒甚研究的我，竟然會來寫這篇文章，只能用世事難料來形容啊。話說前一陣有感於自己年近半百，對於本國傳統哲學與民生息息相關的部分——也就是農民曆的製作原理，幾乎完全無知、不接地氣到了汗顏的程度，於是乎網購一本「欽定協紀辨方書」，準備好好自修一番。協紀辨方書的第一章「本原一」，關於十二律的部分，直接引用史記「律書」的部分內容；我想說要瞭解透徹，應該回溯原文，於是便把家藏的中華書局版本、太史公司馬遷的史記拿出來，翻到卷二十五律書第三，好好研讀研讀。

        史書的重點在於政治，禮、樂，五音十二律，都是為理政而制定（坐實了藝術為政治服務的觀念）；其中十二律，上應天氣（季節）、下接地氣（方位）、成於人氣（演奏），所言甚是玄奇。不過，我認為研究應該以科學證據為基礎，那些五行生剋的理論解釋，在沒有科學證明或反證的情況下，只能存而不論。然而，律書中提及十二律數的算法，也就是以竹管製作標準音律之器——律管（功能類似音叉），各音律對應之律管長度；這部分屬於單純的數算，不涉及玄學，剛好可以印證一下，中國古音與現代標準音階的關係。史記律書關於律數的記載如下。

———

律數：（註）

九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。

黃鍾長八寸十分一，宮。大呂長七寸五分三分二。太簇長七寸十分二，角。夾鍾長六寸七分三分一。姑洗長六寸十分四，羽。仲呂長五寸九分三分二，徵。蕤賓長五寸六分三分一。林鍾長五寸十分四，角。夷則長五寸三分二，商。南呂長四寸十分八，徵。無射長四寸十分三分二。應鍾長四寸二分三分二，羽。

生鍾分：

子一分。丑三分二。寅九分八。卯二十七分十六。辰八十一分六十四。巳二百四十三分一百二十八。午七百二十九分五百一十二。未二千一百八十七分一千二十四。申六千五百六十一分四千九十六。酉一萬九千六百八十三分八千一百九十二。戌五萬九千四十九分三萬二千七百六十八。亥十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六。

生黃鍾術曰：以下生者，倍其實，三其法。以上生之，四其實，三其法。上九，商八，羽七，角六，宮五，徵九。置一而九三之以為法。實如法，得長一寸。凡得九寸，命曰「黃鍾之宮」。故曰音始於宮，窮於角；數始於一，終於十，成於三；氣始於冬至，周而復生。

———

        管樂器的長度與所發音的波長成比例；而聲波的波長會隨溫濕度、氣壓等因素變動，但頻率不變，因此現代標準音高以頻率表示。史記律書記載的各個律數之間，為長度的比例關係，相當於波長表示法，故之後需換算成頻率，再與現代音階做比較。這裏先看看律數之間的比例關係如何生成。

        「生鍾分」的子丑寅卯... 等十二支，只是代表計算的次序，與時辰無關。「子一分」，表示以黃鍾為標準，亦即基數1（子）等於律數81，宮；下一個律數的生成：基數1乘以三分之二，得基數2（丑）等於律數54，徵；基數2再乘以三分之四，得基數3（寅）等於律數72，商；如此反覆依序乘以三分之二、再乘以三分之四，共計算12次之後，得到下表一的數據。

表一、鍾分律數計算表

       由上表可以看出，只有前面5個律數是整數，其他都帶有分數，這5個整數之律便稱為「五音」，亦即我們熟知的中國古音「宮、商、角、徵、羽」。又因「角」是最後一個整數律數，故曰「音始於宮，窮於角」。上表有一點需注意之處：律數（括弧內數字）末尾的三分一、三分二，皆為近似值；因為竹管乃是自然物，其精確度有限，寸、分之下，不再以十進位計算，而只以三進位；不足一半，記為三分一，超過一半不足整數，通通記為三分二。

       但是請注意，經過12次計算，並沒有得到12律，只得到9個律數，因為其中3個計算結果，未、酉、亥，對應的律數皆小於40.5（81的一半），已經落入高八度音階的範圍，不列在內。那麼，剩下的3個律數，大呂、夾鍾、仲呂，是如何算出來的？ 史記律書沒有明白解釋，但依據生黃鍾術：「以下生者，倍其實，三其法。以上生之，四其實，三其法」，也就是將基數乘以三分之二，得到向下相差7個律的律數；而基數乘以三分之四，則可得向上相差5個律的律數。把十二律依照長度順序排開如下表，即可清楚看出前述關係。依照生黃鍾術，排序第7的蕤賓乘以三分之四，即可得到向上相差5個律數、排序第2的大呂。大呂乘以三分之二，得夷則；夷則乘以三分之四，得夾鍾；夾鍾乘以三分之二，得無射；無射乘以三分之四，得仲呂。計算結果如下表二。

       另外還有一種算法：表一所列「未、酉、亥」的律數，已落入高八度音階的範圍，然而高八度音，其律數為原音之半，故將未、酉、亥之律數乘以二，即可得大呂、夾鍾、仲呂之律數，與表二數值相同。

表二、律名與律數對照表

       由表二可看出，上排奇數序列的6個律，史記索隱注釋稱之為「陽六」，或「六律」，其下一位的律數皆為前者乘以九分之八；下排偶數序列，索隱稱之為「陰六」，或「六呂」，其中前三位的大呂、夾鍾、仲呂，亦為九分之八乘數關係，後三位的林鍾、南呂、應鍾，也符合九分之八乘數關係，但是仲呂和林鍾之間，則不符合前述關係。此外，若按照生黃鍾術，仲呂乘以三分之二，得「清黃鍾」，亦即黃鍾的高八度音，其律數應為黃鍾之半，即40.5，但是生黃鍾術算出的清黃鍾律數為39.95，與實際值不符，此即所謂「黃鍾無法還原」。反之，若以清黃鍾律數40.5，乘以三分之四，則準確得到林鍾的律數54。綜上可知，「生黃鍾術」是一種近似算法，只有五音的律數為精確數值，其他皆為帶誤差的近似值。

       律數的計算方式弄清楚了，接下來進行頻率換算。頻率與波長成反比，亦即與律數的倒數成正比。然而，作為基準音的黃鍾，其頻率究竟應該是多少？據說黃鍾相當於十二平均律音階的中央C音，我便依照此說來計算。至於中央C音的頻率是多少，目前有兩套通行系統：其一稱「物理學音高」，中央C的頻率設為256赫茲，理由基於「對稱的美感」——這樣每個八度音階的C音，均為2的整數次方；另一系統稱「國際標準音高」，乃是經由國際會議制定，把中央A音定為440赫茲，其他音頻再以2的12次方根為乘數去計算。本文採用「物理學音高」為比較基準，理由是所謂國際標準音高的基準音指定頻率，並沒有科學（物理、生理學）根據，基本上就是依某些人的喜好擅自決定；反而對稱的美感在自然界中具有顯著的重要性，因此採用具有數字對稱性的物理學音高方纔合理。十二律換算頻率與標準音頻對照如表三。

表三、五音十二律與西洋十二平均律音高頻率對照表

       由表三可看出，將物理學音高的中央C音256赫茲設定為黃鍾，換算出來的五音頻率皆為4的倍數，呈現對稱性美感；十二律的換算頻率皆與西洋十二平均律的各個音頻非常接近，差距略大於1%的只有夾鍾、仲呂、夷則、無射，顯見其確有對應關係。

       主要律式除了十二平均律，還有純律。純律以數列表示音階頻率的比例關係，號稱由畢達哥拉斯整理完成；基數為1，其高八度音為2，其餘音階各以分數表示如下：

  1，16/15（或256/243），9/8，6/5（或32/27），5/4（或81/64），4/3，7/5（或45/32、64/45），3/2，8/5（或128/81），7/4（或16/9），15/8（或243/128），2

印度音樂的音階與西方純律相似，稱為22個Shruti，數列如下：

1，256/243，16/15，10/9，9/8，32/27，6/5，5/4，81/64，4/3，27/20，45/32，729/512，3/2，

128/81，8/5，5/3，27/16，16/9，9/5，15/8，243/128，2

       比較上述兩系統，其實只有幾個音不同：印度純律比西方純律多出10/9、27/20、729/512、9/5，而少去7/5、64/45、7/4。將十二律的換算頻率，與最接近的純律音頻對照，得到下表四。注意仲呂、蕤賓、無射這三律，所對應的數值，更接近或等於印度純律音；除了64/45與729/512非常接近之外，另外兩個音頻，西方純律更接近十二平均律的數值（詳表三）。

表四、五音十二律與純律頻率對照表

      總結以上討論，中國的五音十二律加上清黃鍾，可以校準為以下數列：

1，16/15，9/8，6/5，81/64，27/20，729/512，3/2，8/5，27/16，9/5，243/128，2

同時以物理性音高，也就是中央C音等於256赫茲來定調，所得到的音頻數值之對稱性最佳——整數佔一半，其餘亦可除盡或為循環小數——也意味著最具美感。音律之美，實際也反映在科學哲學上。

------

註：史記原文的數字部份抄誤已於注釋修正，此處從修正後的數值。